Question

11．設f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax．
（1）討論f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在[1，+∞）上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；
（3）當0＜a＜2時，f（x）在[1，4]上的最小值為-$\frac{16}{3}$，求f（x）在該區間上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）根據導函數大于0，得到關于a的不等式，求出a的范圍即可；
（3）根據函數的單調性得到f（x）在[1，4]上的最大值為f（x₂），最小值是f（4），求出a，x₂的值，從而求出函數的最大值即可．

解答 解 （1）由f′（x）=-x²+x+2a，△=1+8a，
①a≤-$\frac{1}{8}$時，△≤0，此時f′（x）≤0，∴f（x）在R遞減；
②a＞-$\frac{1}{8}$時，△＞0，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1±\sqrt{1+8a}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，+∞）遞減，
在（$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$）遞增；
（2）當x∈[1，+∞）時，f′（x）的最大值為f′（1）=2a；
由題知f′（1）＞0時，存在單調減區間，所以a∈（0，+∞）；
（3）由（1）知f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調遞減，在（x₁，x₂）上單調遞增，
當0＜a＜2時，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（x₂），
又f（4）-f（1）=-$\frac{27}{2}$+6a＜0，即f（4）＜f（1），
所以f（x）在[1，4]上的最小值為f（4）=8a-$\frac{40}{3}$=-$\frac{16}{3}$，
得a=1，x₂=2，從而f（x）在[1，4]上的最大值為f（2）=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．