Question

【題目】若函數是定義在實數集上的奇函數，并且在區間上是單調遞增的函數.

（1）研究并證明函數在區間上的單調性；

（2）若實數滿足不等式，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）設，則，所以，根據在區間上是單調遞增，可得，從而可得函數在區間上是單調遞減函數；（2）先證明在區間上是單調遞增的函數，根據奇偶性可得在區間上是單調遞增的函數，再將變形為，可得，進而可得實數的取值范圍.

試題解析：（1）設， 顯然恒成立.

設，則， ， ，

則，

所以，

又在區間上是單調遞增，所以 ，

即，

所以函數在區間上是單調遞減函數.

（2）因為是定義在實數集上的奇函數，所以，

又因為在區間上是單調遞增的函數，

所以當時， ，

當時， ， ，

所以當，有.

設，則，所以，

即，所以，

所以在區間上是單調遞增的函數.

綜上所述， 在區間上是單調遞增的函數.

所以由得，

即所以.