Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．已知曲線C1： （t為參數），C2： （θ為參數）． （Ⅰ）化C1 ， C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）若C1上的點P對應的參數為t=﹣ ，Q為C2上的動點，求線段PQ的中點M到直線C3：ρcosθ﹣ ρsinθ=8+2 距離的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲線C1： （t為參數）， ∴曲線C1的普通方程為：（x﹣4）2+（y+3）2=1，
∵曲線C2： （θ為參數），
∴曲線C2的普通方程為： ，
曲線C1為圓心是（4，﹣3），半徑是1的圓．
曲線C2為中心在坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是6，短半軸長是2的橢圓．
（Ⅱ）當t= 時，P（4，﹣4），
設Q（6cosθ，2sinθ），則M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），
∵直線C3：ρcosθ﹣ ，
∴直線C3的直角坐標方程為： ﹣（8+2 ）=0，
M到C3的距離d=
=
=
=3﹣ ．
從而當cos（ ）=1時，d取得最小值3﹣
【解析】（Ⅰ）由cos2θ+sin2θ=1，能求出曲線C1 ， C2的普通方程，并能說明它們分別表示什么曲線．（Ⅱ）當t= 時，P（4，﹣4），設Q（6cosθ，2sinθ），則M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），直線C3的直角坐標方程為： ﹣（8+2 ）=0，由此能求出線段PQ的中點M到直線C3：ρcosθ﹣ 距離的最小值．