Question

設函數f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x），（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）求函數f（x）=f（x）-g（x）的定義域并判斷奇偶性；
（Ⅱ）若a=2，則函數G（x）=f（x）+g（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由已知得f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），故得-2＜x＜2，由f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．
（2）由a=2，先求G（x）=log₂（4-x²）．由4-x²≥0可解得-2≤x≤2，有log₂（4-x²）≤2．

解答： 解：（1）∵f（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
∴

2+x＞0 2-x＞0

，即-2＜x＜2，
故函數f（x）-g（x）的定義域為（-2，2），
函數f（x）-g（x）為奇函數，
∵f（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
∴f（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-[f（x）-g（x）]，
即函數f（x）-g（x）為奇函數．
（2）∵a=2
∴G（x）=f（x）+g（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）=log₂（2-x）（2+x）=log₂（4-x²）．
∴由4-x²≥0可解得-2≤x≤2
∴log₂（4-x²）≤2
∴函數G（x）=f（x）+g（x）的值域為（-∞，2]．

點評：本題主要考察了函數奇偶性的判斷，函數值域的解法，屬于基本知識的考查．