Question

函數f（x）=log_a（x+1）的圖象關于原點對稱的圖象的解析式是y=g（x），若a＞1且0≤x＜1時，關于x的方程2f（x）+g（x）-m=0有實數根，則實數m取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：設M（x，y）是函數y=g（x）圖象上任意一點，進而可得M（x，y）關于原點的對稱點為N的坐標，代入f（x）中進而求得x和y的關系式，再利用對數的運算性質的得到
log_a

(x+1)2

1-x

=m，設F（x）=log_a

(x+1)2

1-x

，求m的范圍就是求出F（x）的值域即可

解答： 解：設M（x，y）是函數y=g（x）圖象上任意一點，
則M（x，y）關于原點的對稱點為N（-x，-y）
N在函數f（x）=log_a（x+1）的圖象上，
∴-y=log_a（-x+1）
∴y=log_a

1

1-x

，
即g（x）=log_a

1

1-x

，
∵a＞1且0≤x＜1時，關于x的方程2f（x）+g（x）-m=0有實數根，
∴2log_a（x+1）+log_a

1

1-x

=m，
即log_a

(x+1)2

1-x

=m，
設F（x）=log_a

(x+1)2

1-x

再設h（x）=

(x+1)2

1-x

，
∴h′（x）=-

(x-3)(x+1)

(1-x)2

，
∵0≤x＜1，
∴h′（x）＞0，
故函數h（x）在[0，1）上為增函數，
∴1≤h（x）＜+∞
∵a＞1，
∴F（x）在[0，1）上為增函數，
∴F（x）_min=F（1）=0，
故F（x）≥0，
即m≥0，
故實數m取值范圍是[0，+∞）

點評：本題主要考查了函數的奇偶性單調性的應用和對數的運算性質，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題