Question

已知函數f（x）=（x²-2ax）e^x，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數的導數，根據y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，得到切線斜率為0，然后建立方程關系即可求a的值；
（Ⅱ）根據函數的導數和極值的關系即可求函數f（x）的極值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=（x²+2x-2ax-2a）e^x，
∵y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，
∴f'（1）=3-4a=0，
解得a=

3

4

．
（Ⅱ）f（x）=（x²-2ax）e^x=（x²-

3

2

x）e^x，
f'（x）=（x²+2x-

3

2

x-

3

2

）e^x=（x²+

1

2

x-

3

2

）e^x，
令f'（x）=0，有x=1或x=-

3

2

，
由f'（x）＞0得x＜-

3

2

或x＞1，此時函數單調遞增．
由f'（x）＜0得-

3

2

＜x＜1，此時函數單調遞減．
∴當x=-

3

2

時，f（x）取得極大值

9

2

e-

3

2

，
當x=1時，f(x)取得極小值-

1

2

e．

點評：本題主要考查導數的計算，要求熟練掌握導數的幾何意義以及利用導數求函數的極值，考查學生的計算能力．