Question

2．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），過橢圓中心的弦PQ滿足|PQ|=2，∠PF₂Q=90°，且△PF₂Q的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l不經過點A（0，1），且與橢圓交于M，N兩點，若以MN為直徑的圓經過點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件推出平行四邊形PF₁QF₂為矩形，求出c，通過三角形的面積求解a，然后求解b，即可得到橢圓方程．
（2）利用$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒（2{k^2}+1）{x^2}+4kmx+2（{m^2}-1）=0$，通過韋達定理求出m值，然后求解定點坐標．

解答 解：（1）∠PF₂Q=90°⇒平行四邊形PF₁QF₂為矩形，
⇒|F₁F₂|=|PQ|=2⇒c=1${S_{△P{F_1}{F_2}}}={S_{P{F_2}Q}}=1⇒P{F_1}•P{F_2}=2$，
又PF₁+PF₂=2a，得a²=2，b²=1，
橢圓方程：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…．（4分）
（2）解：設直線l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒（2{k^2}+1）{x^2}+4kmx+2（{m^2}-1）=0$
$⇒△=8（2{k^2}+1-{m^2}），{x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2（{m^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}$…．（6分）
以MN為直徑的圓經過點A，
$⇒\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{x_1}，{y_1}-1）•（{x_2}，{y_2}-1）=0$⇒3m²-2m-1=0…．（10分）
又直線不經過A（0，1），所以m≠1，$m=-\frac{1}{3}$，
直線l：y=kx-$\frac{1}{3}$，
直線經過定點$（0，-\frac{1}{3}）$…（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．