Question

【題目】數列與滿足，，是數列的前項和（）.

（1）設數列是首項和公比都為的等比數列，且數列也是等比數列，求的值；

（2）設，若且對恒成立，求的取值范圍；

（3）設，，（，），若存在整數，，且，使得成立，求的所有可能值.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）和

【解析】

（1）直接利用等比數列的定義和等比中項的應用求出結果．

（2）利用累加法和恒成立問題的應用和賦值法的應用求出結果．

（3）利用存在性問題的應用和賦值法的應用求出結果．

解：（1） 由條件得，，即，

則，，設等比數列的公比為，

則，又，則.

當，時，，，

則滿足題意，

故所求的的值為.

（2）當時，， ，，，

以上個式子相加得，，

又，則，

即. 由知數列是遞增數列，

又，要使得對恒成立，

則只需，即，則.

（3） 由條件得數列是以為首項，為公差的等差數列，

則，，

則.

則，

當時，，

即時，，

則當時，與矛盾.

又，即時，.

當時，，

又，

即當，時，，與矛盾.

又，則或，

當時，，解得；

當時，，解得.

綜上得的所有可能值為和.