Question

【題目】設函數.

(Ⅰ) 求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ) 討論函數的單調性；

(Ⅲ) 設,當時,若對任意的，存在，使得≥，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）見解析； （Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由題意可得，據此確定切線的斜率，結合切點坐標確定切線方程即可；

(Ⅱ)由可得，據此分類討論確定函數的單調性即可；

(Ⅲ)由題意可得，則原問題等價于，據此求解實數b的取值范圍即可.

(Ⅰ)，

因為,且，

所以曲線在點處的切線方程為：.

(Ⅱ)令，所以，

當時,，

此時在上單調遞減,在上單調遞增；

當時,，

此時在上單調遞增,在上單調遞減.

(Ⅲ)當時,在上單調遞減,在上單調遞增，

所以對任意,有，

又已知存在，

使,所以，

即存在,使，

即，

即因為當，

所以,即實數取值范圍是.

所以實數的取值范圍是.