Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD= ，F為PC的中點，AF⊥PB．

（1）求PA的長；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接BD交AC于點O

∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD

以O為坐標原點，OB、OC所在直線分別為x軸、y軸，

建立空間直角坐標系O﹣xyz，

則OC=CDcos =1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．

又∵OD=CDsin = ，

∴可得A（0，﹣3，0），B（ ，0，0），C（0，1，0），D（﹣ ，0，0）

由于PA⊥底面ABCD，可設P（0，﹣3，z）

∵F為PC邊的中點，∴F（0，﹣1， ），由此可得 =（0，2， ），

∵ =（ ，3，﹣z），且AF⊥PB，

∴ =6﹣ =0，解之得z=2 （舍負）

因此， =（0，0，﹣2 ），可得PA的長為2

（2）解：由（I）知 =（﹣ ，3，0）， =（ ，3，0）， =（0，2， ），

設平面FAD的法向量為 =（x1，y1，z1），平面FAB的法向量為 =（x2，y2，z2），

∵ =0且 =0，∴ ，取y1= 得 =（3， ，﹣2），

同理，由 =0且 =0，解出 =（3，﹣ ，2），

∴向量 、 的夾角余弦值為cos＜ ， ＞= = =

因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于 =

【解析】（1）連接BD交AC于點O，等腰三角形BCD中利用“三線合一”證出AC⊥BD，因此分別以OB、OC分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系如圖所示．結合題意算出A、B、C、D各點的坐標，設P（0，﹣3，z），根據F為PC邊的中點且AF⊥PB，算出z=2 ，從而得到 =（0，0，﹣2 ），可得PA的長為2 ；（2）由（1）的計算，得 =（﹣ ，3，0）， =（ ，3，0）， =（0，2， ）．利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組，解出 =（3， ，﹣2）和 =（3，﹣ ，2）分別為平面FAD、平面FAB的法向量，利用空間向量的夾角公式算出 、 夾角的余弦，結合同角三角函數的平方關系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值