Question

【題目】已知橢圓C：x2+2y2=4，
（1）求橢圓C的離心率
（2）設O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，求直線AB與圓x2+y2=2的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2+2y2=4，得橢圓C的標準方程為 ．

∴a2=4，b2=2，從而c2=a2﹣b2=2．

因此a=2，c= ．

故橢圓C的離心率e=

（2）解：直線AB與圓x2+y2=2相切．

證明如下：

設點A，B的坐標分別為（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．

∵OA⊥OB，

∴ =0，即tx0+2y0=0，解得 ．

當x0=t時， ，代入橢圓C的方程，得t= ．

故直線AB的方程為x= ，圓心O到直線AB的距離d= ．

此時直線AB與圓x2+y2=2相切．

當x0≠t時，直線AB的方程為 ，

即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．

圓心O到直線AB的距離d= ．

又 ，t= ．

故 = ．

此時直線AB與圓x2+y2=2相切

【解析】（1）化橢圓方程為標準式，求出半長軸和短半軸，結合隱含條件求出半焦距，則橢圓的離心率可求；（2）設出點A，B的坐標分別為（x0 ， y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到 =0，用坐標表示后把t用含有A點的坐標表示，然后分A，B的橫坐標相等和不相等寫出直線AB的方程，然后由圓x2+y2=2的圓心到AB的距離和圓的半徑相等說明直線AB與圓x2+y2=2相切．