Question

3．已知函數f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-$\frac{a}{4}x+\frac{3}{2}$，若對任意給定的m∈[0，2]，關于x的方程f（x）=g（m）在區間[0，2]上總存在兩個不同的解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 由題意可以把問題轉化為求函數f（x）和函數g（x）的值域，并有題意轉化為兩個函數的值域的關系問題．

解答 解f′（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．
①當a=0時，f（x）=1，g（x）=$\frac{3}{2}$，顯然不可能滿足題意；
②當a＞0時，當a＜0時，f'（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	-1		極小值1-a		1+4a

又因為當a＞0時，g（x）=-$\frac{a}{4}x+\frac{3}{2}$上是減函數，
對任意x∈[0，2]，g（x）∈[-$\frac{a}{2}$+$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]不合題意；
②當a＜0時，f'（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	+	0	-
f（x）	1		極大值1-a		1+4a

又∵當a＜0時，g（x）=-$\frac{a}{4}$x+$\frac{3}{2}$在[0，2]上是增函數，
∴對任意x∈[0，2]，g（x）∈[$\frac{3}{2}$，-$\frac{a}{2}$+$\frac{3}{2}$]，
由題意，必有g（x）_max＜f（x）_max，
∴-$\frac{a}{2}$+$\frac{3}{2}$＜1-a，解得a＜-1
故a的取值范圍為（-∞，-1）．
故選：A．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查存在性問題，確定函數的最大值是關鍵．