Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足

2c-b

a

=

cosB

cosA

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2

5

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）把條件中所給的既有角又有邊的等式利用正弦定理變化成只有角的形式，整理逆用兩角和的正弦公式，根據三角形內角的關系，得到結果．
（II）利用余弦定理寫成關于角A的表示式，整理出兩個邊的積的范圍，表示出三角形的面積，得到面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

2c-b

a

=

cosB

cosA

，
所以（2c-b）•cosA=a•cosB
由正弦定理，得（2sinC-sinB）•cosA=sinA•cosB．
整理得2sinC•cosA-sinB•cosA=sinA•cosB．
∴2sinC•cosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴cosA=

1

2

，∠A=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，a=2

5

．
∴b²+c²-20=bc≥2bc-20
∴bc≤20，當且僅當b=c時取“=”．
∴三角形的面積S=

1

2

bcsinA≤5

3

．
∴三角形面積的最大值為5

3

．

點評：本題考查正弦定理和余弦定理，本題解題的關鍵是角和邊的靈活互化，兩個定理的靈活應用和兩角和的公式的正用和逆用．