Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c圖象上的點P（1，-2）處的切線方程為y=-3x+1．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-2時有極值，求f（x）的表達(dá)式
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，由題意點P（1，-2）處的切線方程為y=-3x+1，可得f′（1）=-3，再根據(jù)f（1）=-1，又由f′（-2）=0聯(lián)立方程求出a，b，c，從而求出f（x）的表達(dá)式．
（2）由題意函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，對其求導(dǎo)可得f′（x）在區(qū)間[-2，0]大于或等于0，從而求出b的范圍．

解答：解：f′（x）=-3x²+2ax+b，（2分）
因為函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為-3，
所以f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，（3分）
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1．（4分）
（1）函數(shù)f（x）在x=-2時有極值，所以f'（-2）=-12-4a+b=0，（5分）
解得a=-2，b=4，c=-3，（7分）
所以f（x）=-x³-2x²+4x-3．（8分）
（2）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-3x²-bx+b
在區(qū)間[-2，0]上的值恒大于或等于零，（10分）
則

f′(-2)=-12+2b+b≥0 f′(0)=b≥0，

得b≥4，所以實數(shù)b的取值范圍為[4，+∞）（14分）

點評：此題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，若函數(shù)f′（x）＞0，得f（x）為增函數(shù)，若f′（x）＜0，得f（x）為減函數(shù)，充分利用此條件解題．