Question

已知圓x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0（m∈R）.

（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線l上；

（2）與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；

（3）求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等.

Answer 1

（1）證明略（2）當-5-3＜b＜5-3時，直線與圓相交；

當b=±5-3時，直線與圓相切；當b＜-5-3或b＞5-3時，直線與圓相離.

（3）證明略

解析:

（1）證明 配方得：（x-3m）²+［y-（m-1）］²=25，

設圓心為（x，y），則消去m得

l：x-3y-3=0，則圓心恒在直線l：x-3y-3=0上.

（2）解 設與l平行的直線是l₁：x-3y+b=0，

則圓心到直線l₁的距離為

d=.

∵圓的半徑為r=5，

∴當d＜r，即-5-3＜b＜5-3時，直線與圓相交；

當d=r,即b=±5-3時，直線與圓相切；

當d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3時，直線與圓相離.

（3）證明  對于任一條平行于l且與圓相交的直線l₁：x-3y+b=0，由于圓心到直線l₁的距離d=，

弦長=2且r和d均為常量.

∴任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等.