Question

已知函數f（x）=|4x-x²|（x∈R），對于任意的正實數t∈（0，b]，定義：函數f（x）在[0，t]上的最小值為N（t），函數f（x）在[0，t]上的最大值為M（t），現若存在最小正整數m，使得M（t）-N（t）≤m•t對任意的正實數t∈（0，b]成立，則稱函數f（x）為區間（0，b]的“m階收縮函數”
（1）當t∈（0，1]時，試寫出N（t），M（t）的表達式，并判斷函數f（x）是否為（0，1]上的“m階收縮函數”，如果是，請寫出對應的m的值；（只寫出相應結論，不要求證明過程）
（2）若函數f（x）是（0，b]上的4階收縮函數，求實數b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數f（x）=|4x-x²|=|-（x-2）²+4|，
∵x∈[0，t]，t∈（0，1]，∴N（t）=0，M（t）=4t-t²
∴M（t）-N（t）=4t-t²=4t（1-t）≤4•t對t∈（0，1]成立，
則函數f（x）為區間（0，1]的“4階收縮函數”
（2）函數f（x）是（0，b]上的4階收縮函數的意義為：M（t）-N（t）≤4t對任意的正實數t∈（0，b]成立，同時存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立
①當0＜b＜2時，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=4t-t²
∴M（t）-N（t）=4t-t²=4t（1-t）≤4•t成立，同時存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立
②當2≤b＜2+2時，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=
∴t∈[0，2]，M（t）-N（t）=4t-t²≤4•t成立
t∈（2，b]，4≤4•t成立，同時存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）=4t-t²＞3t成立
③當b≥2+2時，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=
∴t∈[0，2]，M（t）-N（t）=4t-t²≤4•t成立
t∈（2，]，4≤4•t成立，
t，t²-4t≤t，∴0≤t≤8
同時存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）=4t-t²＞3t成立
∴0＜b≤8時，函數f（x）是（0，b]上的4階收縮函數．
分析：（1）函數f（x）=|4x-x²|=|-（x-2）²+4|，根據x∈[0，t]，t∈（0，1]，可得N（t）=0，M（t）=4t-t²，從而可知函數f（x）為區間（0，1]的“4階收縮函數”
（2）函數f（x）是（0，b]上的4階收縮函數的意義為：M（t）-N（t）≤4t對任意的正實數t∈（0，b]成立，同時存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立．下面進行分類討論：①當0＜b＜2時，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=4t-t²
成立；②當2≤b＜2+2時，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=成立；③當b≥2+2時，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=，0≤t≤8成立，故可求b的取值范圍．
點評：本題是典型的信息題，主要考查對新定義的理解，以及敘述的規范性，解題的關鍵是正確運用定義，正確進行分類．