Question

已知函數f（x）。
（1）若函數f（x）是（0，+∞）上的增函數，求k的取值范圍；
（2）證明：當k=2時，不等式f（x）＜lnx對任意x＞0恒成立；
（3）證明：ln（1×2）+ln（2×3）+…ln[n（n+1）]＞2n-3。

Answer 1

解：（1）∵
所以
∵f（x）是上的增函數
∴對恒成立
∴
得
而時
∴為常函數，不滿足條件
所以；
（2）當時，
∵
所以不等式對任意x＞0恒成立等價于對任意x＞0恒成立
令，
∴g（x）在（0，3）上遞減，在（3，+∞）上遞增
∴
即對任意x＞0恒成立
所以不等式對任意x＞0恒成立；
（3）由（2）知，對任意x＞0恒成立
∴
∴
∴
。