Question

m=-2是直線x+（m+1）y=2-m與f(x)=-

1

6

m2x3-

1

2

mx在x=1處的切線垂直的

 

條件．

Answer 1

分析：由題意得：f（x）在x=1處得切線斜率為：-

1

2

m2-

1

2

 m，討論當m=-1與m=2兩種情況討論直線x+（m+1）y=2-m的斜率，由兩條直線的關系進而求出m的值．

解答：解：由題意得：f（x）的導數是f′（x）=-

1

2

m2x2-

1

2

m
所以f（x）在x=1處得切線斜率為：-

1

2

m2-

1

2

 m
當m=-1時直線x+（m+1）y=2-m的斜率不存在，且切線的斜率為0，
此時兩條直線相互垂直．
當m≠-1時直線x+（m+1）y=2-m的斜率為-

1

m+1

因為直線x+（m+1）y=2-m與f(x)=-

1

6

m2x3-

1

2

mx在x=1處的切線垂直
所以(-

1

m+1

)×(-

1

2

m2-

1

2

m)=-1
解得m=2
所以直線x+（m+1）y=2-m與f(x)=-

1

6

m2x3-

1

2

mx在x=1處的切線垂直時m=-1或m=2．
所以m=-2是直線x+（m+1）y=2-m與f(x)=-

1

6

m2x3-

1

2

mx在x=1處的切線垂直的充分不必要條件．
故答案為充分不必要條件．

點評：解決此類題目的關鍵是熟練利用導數求曲線的切線并且在表達直線的斜率時要注意斜率是否存在，這是直線這塊常出錯的地方．