Question

下列四種說法：
①命題“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分條件；
③將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現的點數分別為b，c，則方程x²+bx+c=0有實根的概率為

19

36

；
④過點（

1

2

，1）且與函數y=

1

x

圖象相切的直線方程是4x+y-3=0．
其中所有正確說法的序號是

 

．

Answer 1

分析：①中特稱命題的否定為全稱命題；
②中可先求出“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充要條件，再進行判斷；
③中概率為古典概型，利用列舉法求解即可；
④中利用導數求解即可．

解答：解：①中命題“?x∈R，使得x²+1＞3x”為特稱命題，其否定應為全稱命題，注意量詞的變化，故①正確；
②中m=-2時，兩直線為：-2y+1=0和-4x-3=0，兩直線垂直，而兩直線垂直時，有-

m+2

m

•(-

m-2

m+2

) =-1，解得m=1或m=-2
所以“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要條件；
③b和c的取值分別為1、2、3、4、5、6，共36種，方程x²+bx+c=0有實根，則△=b²-4c≥0，取值共有16種，故概率為

19

36

；
④設切點為P（x₀，y₀），則函數y=

1

x

在P點處的切線的斜率為y′|x=x0=-

1

x02

，
切線方程為：y-

1

x0

= -

1

x02

(x-x0)①，若此切線過點（

1

2

，1），代入切線方程得x02-2x0+

1

2

=0，解出x₀，
代入①式可求得切線方程，④錯誤
故答案為：①③

點評：本題考查命題的否定、兩直線相切的充要條件的判斷、古典概型、過某點的函數的切線方程等知識，考查知識點較多，綜合性較強．