Question

如圖，設鐵路AB長為80，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運往C，現(xiàn)在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4．
（1）將總運費y表示為x的函數(shù)；
（2）如何選點M才使總運費最小？

Answer 1

分析：（1）由已知中鐵路AB長為80，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運往C，現(xiàn)在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4，我們可計算出公路上的運費和鐵路上的運費，進而得到由A到C的總運費；
（2）由（1）中所得的總運費y表示為x的函數(shù)，利用導數(shù)法，我們可以分析出函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的最小值點，得到答案．

解答：解：（1）依題中，鐵路AB長為80，BC⊥AB，且BC=10，
將貨物從A運往C，現(xiàn)在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，
且單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4
∴鐵路AM上的運費為2（80-x），公路MC上的運費為4

100+x2

，
則由A到C的總運費為y=2（80-x）+4

100+x2

（0≤x≤80）…（6分）
（2）y′=-2+

4x

100+x2

（0≤x≤80），
令y′=0，
解得x=

10

3

，或x=-

10

3

（舍）…（9分）
當0≤x≤

10

3

時，y′≤0；當

10

3

≤x≤80時，y′≥0
故當x=

10

3

時，y取得最小值．…（12分）
即當在距離點B為

10

3

時的點M處修筑公路至C時總運費最省．…（13分）

點評：本題考查的知識點是導數(shù)在最大值最小值問題中的應用，函數(shù)最值的應用，其中根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，并確定函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關鍵．