Question

如圖，設鐵路AB長為80，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運往C，現在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4．
（1）將總運費y表示為x的函數；
（2）如何選點M才使總運費最小？

Answer 1

解：（1）依題中，鐵路AB長為80，BC⊥AB，且BC=10，
將貨物從A運往C，現在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，
且單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4
∴鐵路AM上的運費為2（80-x），公路MC上的運費為4，
則由A到C的總運費為y=2（80-x）+4（0≤x≤80）…（6分）
（2）y′=-2+（0≤x≤80），
令y′=0，
解得x=，或x=-（舍）…（9分）
當0≤x≤時，y′≤0；當≤x≤80時，y′≥0
故當x=時，y取得最小值．…（12分）
即當在距離點B為時的點M處修筑公路至C時總運費最省．…（13分）
分析：（1）由已知中鐵路AB長為80，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運往C，現在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4，我們可計算出公路上的運費和鐵路上的運費，進而得到由A到C的總運費；
（2）由（1）中所得的總運費y表示為x的函數，利用導數法，我們可以分析出函數的單調性，及函數的最小值點，得到答案．
點評：本題考查的知識點是導數在最大值最小值問題中的應用，函數最值的應用，其中根據已知條件求出函數的解析式，并確定函數的單調性是解答本題的關鍵．