Question

設S_n是等差數列{a_n}前n項的和．已知

1

3

S3與

1

4

S4的等比中項為

1

5

S5，

1

3

S3與

1

4

S4的等差中項為1．求等差數列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析：利用等差數列的前n項和公式代入已知條件，建立d與a₁的方程，聯立可求得數列的首項a₁、公差d，再由等差數列的通項公式可求得a_n

解答：解：設等差數列{a_n}的首項a₁=a，公差為d，則通項為
a_n=a+（n-1）d，
前n項和為Sn=na+

n(n-1)

2

d，
依題意有

1 3 S3• 1 4 S4=( 1 5 S5)2 1 3 S3+ 1 4 S4=2

其中S₅≠0．
由此可得

1 3 (3a+ 3×2 2 d)× 1 4 (4a+ 4×3 2 d)= 1 25 (5a+ 5×4 2 d)2 1 3 (3a+ 3×2 2 d)+ 1 4 (4a+ 4×3 2 d)=2

整理得

3ad+5d2=0 2a+ 5 2 d=2

解方程組得

d=0 a=1

d=- 12 5 a=4

由此得a_n=1；或a_n=4-

12

5

（n-1）=

32

5

-

12

5

n．
經驗證知時a_n=1，S₅=5，或an=

32

5

-

12

5

n時，S₅=-4，均適合題意．
故所求等差數列的通項為a_n=1，或an=

32

5

-

12

5

n．

點評：本小題主要考查等差數列、等比數列、方程組等基礎知識，考查運算能力．由等差數列的前n項和確定基本量 d與a₁
之間的關系，關鍵在于熟練應用公式．