Question

已知函數f(x)=

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x3+ax2+(2a-1)x．
（1）若f'（-3）=0，求a的值；
（2）若a＞1，求函數發f（x）的單調區間與極值點；
（3）設函數g（x）=f'（x）是偶函數，若過點A(1，m)(m≠-

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3

)可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數fˊ（x），解方程f'（-3）=0，即可求得結論；（2）求導數fˊ（x），根據a＞1，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函數的單調區間和極值點；（3）設出曲線過點P切線方程的切點坐標，把切點的橫坐標代入到（1）求出的導函數中即可表示出切線的斜率，根據切點坐標和表示出的斜率，寫出切線的方程，把P的坐標代入切線方程即可得到關于切點橫坐標的方程，求出方程的解即可得到切點橫坐標的值，分別代入所設的切線方程即可；

解答：解：f′（x）=x²+2ax+2a-1
（1）∵f'（-3）=0，∴9-6a+2a-1=0，
解得：a=2；
（2）f'（x）=（x+1）（x+2a-1），
∵a＞1，由f'（x）=（x+1）（x+2a-1）＞0
得x＜1-2a或x＞-1，所以f（x）的單調增區間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞）；
由f'（x）=（x+1）（x+2a-1）＜0得1-2a＜x＜-1，
所以f（x）的單調減區間為（1-2a，-1）；
且x=1-2a是極大值點，x=-1是極小值點；
（3）∵g（x）=f'（x）是偶函數，
∴a=0
∴f(x)=

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3

x3 -x，設曲線線 過點A(1，m)(m≠-

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)的切線相切于點P（x₀，

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x03-x0 ），
則切線的斜率 k=x₀²-1，
∴切線方程為y-（

1

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x03-x0）═（x₀²-1）（x-x₀），
∵點A（1，m）在切線上，
∴m-（

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x03-x0）=（x₀²-1）（1-x₀），
解得m=-

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3

x03+x02-1
令h（x）=-

2

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x 3+x 2-1，
則h′（x）=-2x²+2x=2x（1-x）=0，解得x=0，x=1當x=0時，
h（x）去極小值-1，當x=1時，h（x）去極大值-

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3

，
∴實數m的取值范圍是-1＜m＜-

2

3

．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性和利用導數求閉區間上函數的最值，以及利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了分析解決問題的能力和運算能力，屬于難題．