Question

已知焦點在軸，頂點在原點的拋物線經過點P（2，2），以上一點為圓心的圓過定點（0，1），記為圓與軸的兩個交點．

（1）求拋物線的方程；

（2）當圓心在拋物線上運動時，試判斷是否為一定值？請證明你的結論；

（3）當圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置，開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程；（2）在解決與拋物線性質有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此；（3）圓的弦長的常用求法：（1）幾何法：求圓的半徑，弦心距，弦長，則（2）代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式；（4）基本不等式的使用求最值．

試題解析：（1）由已知，設拋物線方程為，，解得．

所求拋物線的方程為．-------3分

（2）法1:設圓心，則圓的半徑=

圓C2的方程為．

令，得，得．

（定值）．

法2:設圓心，因為圓過，所以半徑=，

因為在拋物線上，，且圓被軸截得的弦長

=（定值）

（3）由（2）知，不妨設，

考點：（1）求拋物線的標準方程；（2）求弦長為定值；（3）求最大值問題．