Question

已知函數(shù)f（x）=|x|-1，關(guān)于x的方程f²（x）-|f（x）|+k=0，給出下列四個(gè)命題：
①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根．
其中真命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：利用換元法設(shè)t=|x|-1，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t²-|t|+k=0去求解．

解答：解：設(shè)t=|x|-1，則t≥-1，當(dāng)t=-1時(shí)，x=0當(dāng)t＞-1時(shí)，x有兩解．
則原方程等價(jià)為t²-|t|+k=0，即k=-t²+|t|=-（|t|-

1

2

）²+

1

4

．
由圖象可知，（1）當(dāng)k＜0時(shí)，t＞1，此時(shí)方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
（2）當(dāng)k=0時(shí)，t=1或t=0或t=-1，
當(dāng)t=1時(shí)，x有兩個(gè)不同的解，
當(dāng)t=0時(shí)，x有兩個(gè)不同的解，
當(dāng)t=-1時(shí)，x只有一個(gè)解，所以此時(shí)共有5個(gè)不同的解．
（3）當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，-1＜t＜-

1

2

或-

1

2

＜t＜0或0＜t＜

1

2

或

1

2

＜t＜1，此時(shí)對應(yīng)著8個(gè)解．
（4）當(dāng)k=

1

4

時(shí)，t=-

1

2

或t=

1

2

．此時(shí)每個(gè)t對應(yīng)著兩個(gè)x，所以此時(shí)共有4個(gè)解．
綜上正確的是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題主要考查了與二次函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的根的情況，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．