Question

【題目】已知函數，．

（）求的值域．

（）若對于內的所有實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或．

【解析】

試題分析：

（）由對勾函數的性質可知在上是減函數，在上是增函數，據此計算可得的值域為．

（）原問題即，對于恒成立，

令，則，且的圖象開口向上，對稱軸為．據此分類討論有：

①當時，，此時；

②當時，，此時無解；

③當時，，此時，

綜上可得實數的取值范圍為：或．

試題解析：

（）∵在上是減函數，在上是增函數，

且，，，

∴的值域為．

（）對于內的所有實數，不等式恒成立等價于，對于恒成立，

令，則，

∵的圖象為拋物線，開口向上，對稱軸為．

①當時，在上單調遞增，

∴，

解得或，

∴；

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，解得，

∴無解；

③當時，在上單調遞減，

∴，

解得或，

∴，

綜上所述，實數的取值范圍為：或．