Question

【題目】設f（logax）= ，（0＜a＜1）
（1）求f（x）的表達式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調性；
（3）對于f（x），當x∈（﹣1，1）時，恒有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設logax=t，則x=at，

∴f（t）= = =

∴f（x）=

∴f（﹣x）= （a﹣x﹣ax）=﹣f（x），

∴f（x）為奇函數

（2）解：函數為增函數，

∵f（x）=

設x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）= （ ）= （ ﹣ + ﹣ ），

∵0＜a＜1時，

∴a2﹣1＜0， ＞1，

∴ ﹣ ＞0，+ ﹣ ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增

（3）解：∵f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，

∴f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），

∵f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增；

∴

解得，1＜m ，

故m的取值范圍為（1， ）

【解析】（1）利用換元法，設logax=t，則x=at ， 代入化簡即可，再利用奇偶性的定義證明即可，（2）函數為增函數，利用定義證明即可，（3）利用函數為奇函數和增函數，得到不等式組，解得即可．
【考點精析】關于本題考查的函數的奇偶性和利用導數研究函數的單調性，需要了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．