Question

設k＞1，f（x）=k（x-2）（x∈R），在平面直角坐標系xOy中，函數y=f（x）的圖象與x軸交于A點，它的反函數y=f^-1（x）的圖象與y軸交于B點，并且這兩個函數的圖象交于P點．已 知四邊形OAPB的面積是6，則k的值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：取y=0，求出直線y=k（x-2）與x軸的交點，根據互為反函數圖象之間的關系求得B點的坐標，設出P點的坐標，由四邊形OAPB的面積等于3求出P點的坐標，代入直線y=k（x-2）后可求得k的值．
解答：解：如圖，因為函數f（x）=k（x-2）（k＞1）的圖象與x軸交于點A，
取y=0，得k（x-2）=0，所以x=2，則A（2，0），
又因為互為反函數的兩函數的圖象關于直線y=x對稱，所以B（0，2），
設P（x，y），因為四邊形OAPB的面積是6，
所以2××2×|y|=6，所以y=±3，
又直線f（x）=k（x-2）的斜率k＞1，所以直線f（x）=k（x-2）與直線y=x的交點在第一象限，所以y=，
則P（3，3），把P（3，3）代入y=k（x-2）得：k=3．
故答案為：3．
點評：本題考查了反函數，考查了互為反函數圖象之間的關系，考查了數形結合的解題思想，解答此題的關鍵是明確互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱，此題為中低檔題．