Question

設(shè)k＞1，f（x）=k（x-2）（x∈R），在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A點，它的反函數(shù)y=f^-1（x）的圖象與y軸交于B點，并且這兩個函數(shù)的圖象交于P點．已 知四邊形OAPB的面積是6，則k的值等于

3

．

Answer 1

分析：取y=0，求出直線y=k（x-2）與x軸的交點，根據(jù)互為反函數(shù)圖象之間的關(guān)系求得B點的坐標(biāo)，設(shè)出P點的坐標(biāo)，由四邊形OAPB的面積等于3求出P點的坐標(biāo)，代入直線y=k（x-2）后可求得k的值．

解答：解：如圖，因為函數(shù)f（x）=k（x-2）（k＞1）的圖象與x軸交于點A，
取y=0，得k（x-2）=0，所以x=2，則A（2，0），
又因為互為反函數(shù)的兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以B（0，2），
設(shè)P（x₀，y₀），因為四邊形OAPB的面積是6，
所以2×

1

2

×2×|y₀|=6，所以y₀=±3，
又直線f（x）=k（x-2）的斜率k＞1，所以直線f（x）=k（x-2）與直線y=x的交點在第一象限，所以y₀=

3

2

，
則P（3，3），把P（3，3）代入y=k（x-2）得：k=3．
故答案為：3．

點評：本題考查了反函數(shù)，考查了互為反函數(shù)圖象之間的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，解答此題的關(guān)鍵是明確互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，此題為中低檔題．