Question

如圖，△CDE中∠CDE=90°，平面CDE外一條線段AB滿足AB∥DE，AB=DE，AB⊥AC，F是CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）若AC=AD，證明：AF⊥平面CDE．

Answer 1

【答案】分析：（I）在平面BCE內作AF的平行線，通過線線平行證明線面平行；
（II）根據線面垂直的性質證線線垂直，再由線線垂直⇒線面垂直．
解答：解：（I）取CE的中點O，連接BO、OF．
∵O、F分別是CD與CE的中點，∴OF∥DE，OF=DE，
又AB∥DE，AB=DE，∴四邊形ABOF為平行四邊形，∴AF∥BO
AF?平面BCE，BO?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）∵AB⊥AC，AB∥DE，∴DE⊥AC，
又DE⊥CD，CD∩AC=C，∴DE⊥平面ACD
∵AF?平面ACD，∴AF⊥DE；
∵F是CD的中點，AC=AD，∴AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．
點評：本題考查線面平行的判定及線面垂直的判定．線面平行的證明方法：1、線線平行⇒線面平行；2、面面平行⇒線面平行．線面垂直的證明方法：1、線線垂直⇒線面垂直；2、面面垂直⇒線面垂直；3、⇒線面垂直．