Question

（2004•上海模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，sinB=

5

7

，F是AB上一點，過點F作DF⊥AB于F，交BC城E，交AC延長線于D，連CF，若S_△BEF=4S_△CDE，CE=5，
（1）求AC的長  （2）求S_△CEF．

Answer 1

分析：（1）易得△BFE∽△DCE，根據面積之間的關系式可得到相應的相似比，利用CE長，那么可求得BE長，進而求得BC，利用sinB的值和勾股定理即可求得AC長；
（2）利用sinB可求得BF、FE，由于△CEF和△BEF同高，那么面積的比就等于底邊的比．按此計算即可．

解答：解：（1）∵∠BFE=∠BCD=90°，∠FEB=∠DEC
∴△BFE∽△DCF
∵S_△BEF=4S_△CDE，
∴S_△BEF：S_△DEC=4：1
∴EF：EC=2：1
∵CE=5，∴EF=10，
∵sinB=

5

7

，∴BE=

70

5

，∴BC=

95

5

設AC=5k，則AB=7k
∵AB²-AC²=BC²，
∴49k²-25k²=（

95

5

）²
解得k=

19 6

12

（負值舍去）
∴AC=5×

19

12

6

=

95 6

12

；
（2）∵sinB=

5

7

，BE=

70

5

，EF=10；
∴BF=4

6

S_△BFE=BF×EF÷2=20

6

∵BE：EC=

70

5

：5
∴S_△CEF=

50 6

7

．

點評：本題以三角形為載體，主要考查了相似三角形的性質以及解直角三角形的應用等知識．