Question

（2011•溫州二模）如圖，在多面體ABCDE中，四邊形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，垂足為E，AE=3，CE=9，
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角C-BD-E的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明平面ABCD⊥平面ADE，根據面面垂直的判定定理，只需在平面ABCD中找出平面ADE的一條垂線即可；
（2）過點E作EF⊥AD于點F，過F作FH⊥BD于H，連接EH，則∠FHE為二面角C-BD-E的平面角的補角，先求∠FHE的正弦，進而可得二面角C-BD-E的平面角的余弦值．

解答：（1）證明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD
在正方形ABCD中，CD⊥AD
∵AD∩AE=A
∴CD⊥平面ADE
∵CD?平面ABCD
∴平面ABCD⊥平面ADE；
（2）解：∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE
∴CD⊥DE
又CE=9
設正方形ABCD的長為x
在直角△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-x²
在直角△ADE中，DE²=AD²-AE²=x²-9
∴81-x²=x²-9
∴x=3

5

∴DE=6
過點E作EF⊥AD于點F，過F作FH⊥BD于H，連接EH
∴∠FHE為二面角C-BD-E的平面角的補角
在直角△ADE中，AD=3

5

，AE=3，DE=6
∵AD•EF=AE•DE，∴EF=

AE•DE

AD

=

6 5

5

，
∴DF=

12

5

，∴FH=

6 2

5

∴EH=

6 3

5

在直角△DFH中，EF=

6

5

，EH=

6 3

5

，
∴sin∠FHE=

3

3

∴二面角C-BD-E的平面角的余弦值為-

6

3

點評：本題以多面體為載體，考查面面垂直的判定，考查面面角，解題的關鍵是正確運用面面垂直的判定定理，正確作出面面角．