Question

定義域為R的奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），且當x∈（0，1）時，f（x）=．
（Ⅰ）求f（x） 在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）當m取何值時，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），由f（x）為R上的奇函數，得f（-x）=-f（x）=，故，x∈（-1，0）．由奇函數得f（0）=0．由此能求出f（x） 在[-1，1]上的解析式．
（Ⅱ）由x∈（0，1），知m=1-，故2^x∈（1，2），．由此能求出當m取何值時，方程f（x）=m在（0，1）上有解．
解答：解：（Ⅰ）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
由f（x）為R上的奇函數，得f（-x）=-f（x）==，
∴，x∈（-1，0）．…（3分）
又由奇函數得f（0）=0．
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0． …（5分）
∴．   …（7分）
（Ⅱ）∵x∈（0，1），
m===1-，…（10分）
∴2^x∈（1，2），
∴．
即m． …（13分）
點評：本題考查求f（x） 在[-1，1]上的解析式和當m取何值時，方程f（x）=m在（0，1）上有解．解題時要認真審題，注意函數的奇偶性的靈活運用．