Question

滿足“對任意實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y）都成立”的函數(shù)可以是（　　）

A．f（x）=2^x

B．f（x）=2x

C．f（x）=x²

D．f（x）=log₂x

Answer 1

分析：由題設(shè)中“對任意實數(shù)x，y，f（x•y）=f（x）•f（y）都成立”這個條件，將選項中的函數(shù)一一進行代入判斷，由此即可得到正確答案．

解答：解：對于選項A，f（x）=2^x，則f（x+y）=2^x+y，f（x）+f（y）=2^x+2^y，對任意實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y）不都成立，故選項A不符合；
對于選項B，f（x）=2x，在f（x+y）=2（x+y），f（x）+f（y）=2x+2y=2（x+y），對任意實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y）都成立，故選項B符合；
對于選項C，f（x）=x²，f（x+y）=（x+y）²，f（x）+f（y）=x²+y²，對任意實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y）不都成立，故選項C不符合；
對于選項D，f（x）=log₂x，在f（x+y）=log₂（x+y），f（x）+f（y）=log₂x+log₂y=log₂（xy），對任意實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y）不都成立，故選項D不符合．
綜上所述，滿足“對任意實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y）都成立”的函數(shù)可以是選項B．
故選B．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的運算，是一個抽象函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，能由題設(shè)條件中所給的運算法則進行運算判斷，考查了判斷的能力及對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度．屬于基礎(chǔ)題．