Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）滿足，對任意實數x，都有f（x）≥x，且當x∈（1，3）時，有f（x）≤

1

8

（x+2）²成立．
（1）證明：f（2）=2，若f（-2）=0，求f（x）的表達式
（2）設g（x）=f（x）-

m

2

x，x∈[0，+∞），若g（x）圖象上的點都位于直線y=

1

4

的上方，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知f（2）≥2成立，又由f（x））≤

1

8

（x+2）²成立，得f（2）≤

1

8

(2+2)2=2，根據兩種情況可得f（2）值；f（-2）=0，由上述證明知f（2）=2，f（x）的表達式中有三個未知數，由兩函數值只能得出兩個方程，再對任意實數x，都有f（x）≥x，這一恒成立的關系得到(4a-

1

2

)2≤0，由此可以得到a=

1

8

，將此三方程聯立可解出三個參數的值，求出f（x）的表達式；
（2）g（x）=

1

8

x2+(

1

2

-

m

2

)x+

1

2

＞

1

4

在[0，+∞）時必須恒成立，即x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．轉化為二次函數圖象與x軸在x∈[0，+∞）無交點的問題，由于g（x）的單調性不確定，故本題要分兩種情況討論，一種是對稱軸在y軸右側，此時需要判別式小于0，一類是判別式大于0，對稱軸小于0，且x=0處的函數值大于等于0，轉化出相應的不等式求解．

解答：解：（1）由條件知：f（2）=4a+2b+c≥2成立，
又另取x=2時，f(2)=4a+2b+c≤

1

8

(2+2)2=2成立，
∴f（2）=2；
∵

f(2)=4a+2b+c=2 f(-2)=4a-2b+c=0

，∴4b=2即b=

1

2

，4a+c=1，
又f（x）≥x恒成立，即ax²+（b-1）x+c≥0在R上恒成立，
∴a＞0且△=（b-1）²-4ac≤0，即a＞0，△=(

1

2

-1)2-4a(1-4a)≤0，
解得：a=

1

8

，b=

1

2

，c=

1

2

，
所以f(x)=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

，
（2）由題意可得：g（x）=

1

8

x2+(

1

2

-

m

2

)x+

1

2

＞

1

4

在[0，+∞）時必須恒成立，即x²+4（1-m）x+2＞0在[0，+∞）時恒成立，
則有以下兩種情況：
①△＜0，即16（1-m）²-8＜0，解得1-

2

2

＜m＜1+

2

2

②

△≥0 -2(1-m)≤0 f(0)=2＞0

，解得：m≤1-

2

2

，
綜上所述：m∈(-∞，1+

2

2

)．

點評：本題是二次函數的一道綜合題，考查到了分類討論的思想，考查推理論證能力，對分析轉化的推理能力要求較高．