Question

設A=xⁿ+x^-n，B=x^n-1+x^1-n，當x∈R⁺，n∈N⁺時，求證：A≥B．

Answer 1

【答案】分析：若a，b∈R，則：a-b＞0?a＞b；a-b=0?a=b；a-b＜0?a＜b根據這個性質知，欲證A≥B，只須證A-B≥0即可．
解答：證明：A-B=（xⁿ+x^-n）-（x^n-1+x^1-n）
=x^-n（x²ⁿ+1-x^2n-1-x）
=x^-n[x（x^2n-1-1）-（x^2n-1-1）]
=x^-n（x-1）（x^2n-1-1）．
由x∈R⁺，x^-n＞0，得
當x≥1時，x-1≥0，x^2n-1-1≥0；
當x＜1時，x-1＜0，x²ⁿ-1＜0，即
x-1與x^2n-1-1同號．∴A-B≥0．∴A≥B．
點評：要比較兩個實數的大小，只要考查它們的差的符號即可．比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法．用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號．作差法是當要證的不等式兩邊為代數和形式時，通過作差把定量比較左右的大小轉化為定性判定左-右的符號，從而降低了問題的難度．作差是化歸，變形是手段，變形的過程是因式分解（和差化積）或配方，把差式變形為若干因子的乘積或若干個完全平方的和，進而判定其符號，得出結論．