Question

設A=xⁿ+x^-n,B=x^n-1+x^1-n，當x∈R⁺，n∈N時，求證：A≥B.

Answer 1

證明:A-B=(xⁿ+x^-n)-(x^n-1+x^1-n)

    =x^-n(x²ⁿ⁺¹-x^2n-1-x)

    =x^-n［x(x^2n-1-1)-(x^2n-1-1)］

    =x^-n(x-1)(x^2n-1-1).

    由x∈R⁺,x^-n＞0，得

    當x≥1時，x-1≥0,x^2n-1-1≥0;

    當x＜1時，x-1＜0,x^2n-1-1＜0,

    即x-1與x^2n-1-1同號.

    ∴A-B≥0.∴A≥B.