Question

【題目】已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓，離心率 ，且橢圓過點 ． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）橢圓左，右焦點分別為F1 ， F2 ， 過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，則△F1AB的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為 ．

則 ，解得：a2=4，b2=3．

∴橢圓方程為 ；

（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，設△F1AB的內切圓的半徑R，

則△F1AB的周長=4a=8， （|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，

因此 最大，R就最大，

由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，

由 ，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

．

則 = ，

令 ，則m2=t2﹣1，

∴ = ，

令f（t）=3t+ ，則f′（t）=3﹣ ，

當t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，有f（t）≥f（1）=4， ≤3，

即當t=1，m=0時， ≤3，

由 =4R，得Rmax= ，這時所求內切圓面積的最大值為 ．

故直線l：x=1，△F1AB內切圓面積的最大值為 ．

【解析】（Ⅰ）設橢圓方程，由題意列關于a，b，c的方程組求解a，b，c的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設y1＞0，y2＜0，設△F1AB的內切圓的徑R，則△F1AB的周長=4a=8， = （|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此 最大，R就最大．設直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯立，從而可表示△F1AB的面積，利用換元法，借助于導數，即可求得結論．