Question

【題目】已知函數 且 .
（1）當 時，求函數 的單調區間和極值；
（2）求函數 在區間 上的最小值.

Answer 1

【答案】
（1）解: 當 時，

,

由 ，解得 ,所以函數 的單調遞增區間是 .

由 ,解得 ,

所以函數 的單調遞減區間是 .

所以函數 的極小值為 無極大值

（2）解: 當 時, ,

設 ,當 時， ,此時 恒成立，

所以 在 上單調遞增，所以 .當 時，

,令 ,即 ,

解得 或 ；

令 ,即 ,解得 .

①當 時，即當 時, 對 恒成立，

則 在 區間單調遞減, 所以 .

②當 時，即當 時, 在區間 上單調遞減,

在區間 上單調遞增, 所以 .

③當 ，即 時, 對 恒成立，

則 在區間 單調遞增，所以 .

綜上所述，當 時， ,

當 時， ；

當 或 時,

【解析】(1)首先求出原函數的導函數，利用導函數在不同區間的正負情況得出原函數的單調性進而得到其極值。(2)先求出函數的導函數，再通過對a分情況討論確定導函數的正負進而得到原函數f(x)在指定區間上的單調性，進而得到函數的最小值。
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．