Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，數列{b_n}滿足bn+1=

1

2

bn+

1

4

，且b1=

7

2

，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{bn-

1

2

}是等比數列，并求{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）先根據前n項和與通項之間的關系以及a_n+1=2S_n+3，整理得到s_n+1+

3

2

=3（s_n+

3

2

）；進而得到{sn+

3

2

}是首項為

9

2

公比為3的等比數列；求出S_n，進而得到數列{a_n}的通項公式；
（2）先對條件bn+1=

1

2

bn+

1

4

整理得到bn+1-

1

2

=

1

2

（b_n-

1

2

）；再結合首項不為0即可得到數列{bn-

1

2

}是等比數列，求出其通項，進而得到{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵a₁=3且a_n+1=2S_n+3，
∴s_n+1-s_n=2s_n+3⇒s_n+1=3s_n+3⇒s_n+1+

3

2

=3（s_n+

3

2

）；
∵s1+

3

2

=a₁+

3

2

=

9

2

≠0，
∴

sn+1+ 3 2

sn+ 3 2

=3．
即{sn+

3

2

}是首項為

9

2

公比為3的等比數列；
∴sn+

3

2

=

9

2

×3^n-1=

1

2

×3ⁿ⁺¹⇒sn= 

1

2

×3n+1 -

3

2

；
∴a_n=2s_n-1+3=3ⁿ．
（2）∵數列{b_n}滿足bn+1=

1

2

bn+

1

4

，且b1=

7

2

，
∴b1-

1

2

=3≠0；
且bn+1-

1

2

=

1

2

（b_n-

1

2

）．
∴

bn+1- 1 2

bn- 1 2

=

1

2

．
∴數列{bn-

1

2

}是首項為3公比為

1

2

的等比數列，
∴bn-

1

2

=3×(

1

2

)n-1⇒b_n=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．

點評：本題主要考查數列遞推關系式的應用以及等比關系的確定．在給出遞推關系式求數列的通項時，一般是構造新數列求解其通項．