Question

若cosαcosβ=

1

2

，則sinαsinβ的取值范圍是______．

Answer 1

分析：設(shè)x=sinαsinβ，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式分別化簡cos（α+β）與cos（α-β），將cosαcosβ的值代入，利用余弦函數(shù)的值域列出不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為sinαsinβ的取值范圍．

解答：解：∵cosαcosβ=

1

2

，設(shè)sinαsinβ=x，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

1

2

-x，
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

+x，
∴-1≤

1

2

-x≤1，-1≤

1

2

+x≤1，
解得：-

1

2

≤x≤

1

2

，
則sinαsinβ的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．
故答案為：[-

1

2

，

1

2

]

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．