Question

設O為△ABC的外心，若x

OA

+y

OB

+z

OC

=

0

，C為△ABC的內角，則cos2C=

 

．（用已知數x，y，z表示）

Answer 1

分析：由x

OA

+y

OB

+z

OC

=

0

，移項得x

OA

+y

OB

=-z

OC

，再平方得：(x

OA

+y

OB

) 2=(z

OC

) 2，得到 2xy

OA

•

OB

=2xyR²cos2C=z²R²-（x²+y²）R²，據圓心角等于同弧所對的圓周的兩倍以及向量的數量積得cos2C的值．

解答：解：設外接圓的半徑為R，
∵x

OA

+y

OB

+z

OC

=

0

，
∴x

OA

+y

OB

=-z

OC

，
∴(x

OA

+y

OB

) 2=(z

OC

) 2，
∴（x²+y²）R²+2xy

OA

•

OB

=z²R²，
∴2xy

OA

•

OB

=2xyR²cos2C=z²R²-（x²+y²）R²
∴cos2C=

z2-x2-y2

2xy

，
故答案為：

z2-x2-y2

2xy

．

點評：本小題主要考查三角形外心的應用、向量在幾何中的應用等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．