Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為

3

，過橢圓C的右焦點的動直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若線段AB中點的橫坐標為

1

2

，求直線l的方程；
（3）若線段AB的垂直平分線與x軸相交于點D．設弦AB的中點為P，試求

| DP|

| AB|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

c a = 1 2 1 2 ×2c×b= 3 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）設過橢圓C的右焦點的動直線l的方程為y=k（x-1），與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用中點坐標公式即可得出k．
（3）利用中點坐標公式和弦長公式即可得出．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為

3

，∴

c a = 1 2 1 2 ×2c×b= 3 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3，c=1．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設過橢圓C的右焦點的動直線l的方程為y=k（x-1），
聯立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

化為（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∵AB中點的橫坐標為

1

2

，∴

4k2

3+4k2

=

1

2

，解得k=±

3

2

．
∴直線l的方程y=±

3

2

(x-1)．
（3）由（2）知AB的中點為P(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)，
直線PD的方程為y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，由y=0，得x=

k2

3+4k2

，
則D(

k2

4k2+3

，0)，∴|

DP

|=

3 k2(1+k2)

3+4k2

．
又|

AB

|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2 ]

=

12(k2+1)

3+4k2

．
∴

| DP |

| AB |

=

3 k2(1+k2) 3+4k2

12(1+k2) 3+4k2

=

1

4

•

k2 k2+1

=

1

4

•

1- 1 1+k2

又∵k²+1＞1，∴0＜

1

1+k2

＜1．∴0＜

1

4

•

1- 1 1+k2

＜

1

4

．
∴

| DP |

| AB |

的取值范圍是(0，

1

4

)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、中點坐標公式、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．