Question

已知a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ⁺¹n∈N^*
（1）求數列{a_n}的通項
（2）求證：

2n

k=1

1

ak

＜

7

2

（出題者個人認為：隔項數列很有可能成為今年的重點）

Answer 1

分析：（1）分別看數列項數為奇數和偶數時，利用疊加法求得通項公式a_n；
（2）分別看n為奇數和偶數時，把（1）中求得的通項公式代入

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

中，利用裂項法證明原式．

解答：解：（1）∵a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ⁺¹n∈N*
∴bn=an-1+(-1)n
∴an+1=an-1+n+(-1)n
即an+1-an-1=n+(-1)n
∴a₃-a₁=3
a₅-a₃=5
…
a_2n-1-a_2n-3=2n-1
以上式子相加可得，a_2n-1-a₁=3+5+…+2n-1
∵a₁=1
∴a2n-1=a1+

(3+2n-1)(n-1)

2

=n²
同理，a_2n=n²-n+2，
∴an=

n2+2n+1 4 ，n為奇數 n2-2n+8 4 ，n為偶數

（2）∵

1

a2n-1

=

1

n2

∴(

1

a1

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

)=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

而

1

a2n

=

1

n2-n+2

＜

1

n2-n

=

1

n-1

-

1

n

∴

1

a2

+

1

a4

+…+

1

a2n

＜  

1

a2

+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=

3

2

-

1

n

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n

=(

1

a1

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

)+(

1

a2

+

1

a4

+…+

1

a2n

)
＜2-

1

n

+

3

2

-

1

n

=

7

2

-

2

n

＜

7

2

點評：本題主要考查了數列的遞推式求數列的通項公式和求和問題．考查了學生數列問題的綜合把握．