Question

在等差數列{a_n}，等比數列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，
（1）求數列{a_n}的公差d和數列{b_n}的公比q；
（2）是否存在常數x，y，使得對一切正整數n，都有a_n=log_xb_n+y成立？若存在，求出x和y；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列、等比數列的通項公式和a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，可知，d≠0，q≠1，列方程組即可求得數列{a_n}的公差d和數列{b_n}的公比q；
（2）根據（1）的結論，求得等差數列、等比數列的通項公式，假設存在常數x，y，使得對一切正整數n，都有a_n=log_xb_n+y成立，利用對數的運算法則，轉化為恒等式，對應系數相等，即可得到關于x和y的方程組，解此方程組即可得到結論．

解答：解：（1）∵a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，
∴1+d=q，1+7d=q²，（d≠0，q≠1）
解得：d=5，q=6；
（2）由（1）知：a_n=1+5（n-1）=5n-4，b_n=6^n-1，
要使對一切正整數n，都有a_n=log_xb_n+y成立，
即5n-4=（n-1）log_x6+y，
∴

5=logx6 -4=y-logx6

，解得

x= 5 6 y=1

，
∴當

x= 5 6 y=1

時對，一切正整數n，都有a_n=log_xb_n+y成立．

點評：本題考查等差數列和等比數列的通項公式的和對數的運算法則，特別是問題（2）的設置有新意，關鍵是恒等式的解題方法（對應系數相等）是解題的關鍵，屬中檔題．