Question

16．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2，等比數列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=8．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1-a_n=2，數列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列，由等比數列中公比為q，b₄=b₁•q³，求得q，根據等差和等比數列通項公式即可求得數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）由c_n=a_n+b_n=2n-1+2^n-1，由等差數列和等比數列前n項和公式，采用分組求和的方法即可求得數列{c_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）由題意可知：a_n+1-a_n=2，
∴數列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1，
由等比數列{b_n}，b₄=b₁•q³，
∴q³=8，q=2，
∴數列{b_n}的通項公式b_n=2^n-1；
（2）c_n=a_n+b_n=2n-1+2^n-1，
數列{c_n}的前n項和S_n=$\frac{（1+2n-1）×n}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$，
=2ⁿ+n²-1，
數列{c_n}的前n項和S_n=2ⁿ+n²-1．

點評 本題考查等差數列和等比數列通項公式及前n項和公式，考查數列的分組求和，考查計算能力，屬于基礎題．