Question

7．已知函數f（x）=x²+2mx+3m+4，
（1）若f（x）在（-∞，1]上單調遞減，求m的取值范圍；
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的對稱軸是x=-m，f（x）在（-∞，1]上單調遞減，得-m≥1，由此能求出m的取值范圍．
（2）由f（x）的對稱軸為x=-m，根據m≤-1和m＞-1兩種情況分類討論能求出f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．

解答 解：（1）∵函數f（x）=x²+2mx+3m+4，
∴f（x）的對稱軸是x=-m，
又∵f（x）在（-∞，1]上單調遞減，
∴-m≥1，解得m≤-1，
∴m的取值范圍是（-∞，-1]．…（4分）
（2）f（x）的對稱軸為x=-m
當-m≥1，即m≤-1時，
f（x）在[0，2]上的最大值g（m）=f（0）=3m+4，
當-m＜1，即m＞-1時，
f（x）在[0，2]上的最大值g（m）=f（2）=7m+8，
∴$g（m）=\left\{\begin{array}{l}3m+4（m≤-1）\\ 7m+8（m＞-1）\end{array}\right.$．…（12分）

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，考查函數在閉區間上的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．