Question

一只袋中裝有2個(gè)白色飛鏢、2個(gè)紅色飛鏢，這些飛鏢除顏色不同外其它都相同．
（I）投4次飛鏢，投出的成績(jī)分別是8，9，9，10環(huán)，求投擲成績(jī)的方差；
（Ⅱ）從袋中任意摸出2個(gè)飛鏢，求摸出的兩個(gè)都是白色飛鏢的概率；
（Ⅲ）若投4次飛鏢，前三鏢在靶上留下三個(gè)兩兩距離分別為3cm，4cm，5cm的鏢孔P，Q，R，第四個(gè)鏢落在三角形PQR內(nèi)，求第四個(gè)鏢孔與前三個(gè)鏢孔的距離都超過(guò)1cm的概率（忽略鏢孔大小）．

Answer 1

分析：（I）先用平均數(shù)的公式，計(jì)算出四個(gè)數(shù)的平均數(shù)為9，然后用方差計(jì)算公式可以算出投擲成績(jī)的方差；
（II）先根據(jù)組合數(shù)公式，找到所有的基本事件個(gè)數(shù)為6個(gè)，而滿足“兩個(gè)都是白色飛鏢”的基本事件只有一種情況，由此可得摸出的兩個(gè)都是白色飛鏢的概率；
（III）根據(jù)兩兩距離分別為3cm、4cm、5cm的鏢孔P、Q、R，得到三角形PQR是直角三角形，其面積為6，符合題意的基本事件為點(diǎn)落在直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，且半徑為1的三個(gè)扇形之外的部分，最后用兩個(gè)面積相除即可得到所求的概率．

解答：解：（I）四次成績(jī)的平均數(shù)為：

1

4

(8+9+9+10)=9，
∴投擲成績(jī)的方差為：s²=

1

4

[（8-9）²+（9-9）²+（9-9）²+（9-10）²]=

1

2

；
（II）記事件A=“從袋中任意摸出2個(gè)飛鏢，求摸出的兩個(gè)都是白色”
有如下情況：“白1、白2”，“白1、紅1”，“白1、紅2”，
“白2、紅1”，“白2、紅2”，“紅1，紅2”，共6個(gè)符合題意的基本事件，
其中事件A包含了其中的1種情況，故所求概率為P（A）=

1

6

；
（III）三個(gè)兩兩距離分別為3cm，4cm，5cm的鏢孔P，Q，R，恰好構(gòu)成直角三角形
∴三角形PQR面積為S_△PQR=

1

2

×3×4=6，
記事件B=“第四個(gè)鏢孔與前三個(gè)鏢孔的距離都超過(guò)1cm”
如圖，事件B包含的基本事件為點(diǎn)落在直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，
且半徑為1的三個(gè)扇形之外的部分（如圖），
其對(duì)應(yīng)的面積為S₁=6-

1

2

π•12=6-

π

2

∴所求概率為P（B）=

S1

S△PQR

=

6- π 2

6

=1-

π

12

．
答：（I）投4次飛鏢，投出的成績(jī)分別是8，9，9，10環(huán)，投擲成績(jī)的方差為

1

2

；
（Ⅱ）從袋中任意摸出2個(gè)飛鏢，摸出的兩個(gè)都是白色飛鏢的概率為

1

6

；
（Ⅲ）第四個(gè)鏢孔與前三個(gè)鏢孔的距離都超過(guò)1cm的概率為1-

π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)投擲飛鏢的問(wèn)題，著重考查了等可能性事件的概率、幾何概率模型和方差的概念等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．