Question

一只袋中裝有2個白色飛鏢、2個紅色飛鏢，這些飛鏢除顏色不同外其它都相同．
（I）投4次飛鏢，投出的成績分別是8，9，9，10環，求投擲成績的方差；
（Ⅱ）從袋中任意摸出2個飛鏢，求摸出的兩個都是白色飛鏢的概率；
（Ⅲ）若投4次飛鏢，前三鏢在靶上留下三個兩兩距離分別為3cm，4cm，5cm的鏢孔P，Q，R，第四個鏢落在三角形PQR內，求第四個鏢孔與前三個鏢孔的距離都超過1cm的概率（忽略鏢孔大小）．

Answer 1

解：（I）四次成績的平均數為：=9，
∴投擲成績的方差為：s²=[（8-9）²+（9-9）²+（9-9）²+（9-10）²]=；
（II）記事件A=“從袋中任意摸出2個飛鏢，求摸出的兩個都是白色”
有如下情況：“白1、白2”，“白1、紅1”，“白1、紅2”，
“白2、紅1”，“白2、紅2”，“紅1，紅2”，共6個符合題意的基本事件，
其中事件A包含了其中的1種情況，故所求概率為P（A）=；
（III）三個兩兩距離分別為3cm，4cm，5cm的鏢孔P，Q，R，恰好構成直角三角形
∴三角形PQR面積為S_△PQR=×3×4=6，
記事件B=“第四個鏢孔與前三個鏢孔的距離都超過1cm”
如圖，事件B包含的基本事件為點落在直角三角形的三個頂點為圓心，
且半徑為1的三個扇形之外的部分（如圖），
其對應的面積為S₁=6-=6-
∴所求概率為P（B）===1-．
答：（I）投4次飛鏢，投出的成績分別是8，9，9，10環，投擲成績的方差為；
（Ⅱ）從袋中任意摸出2個飛鏢，摸出的兩個都是白色飛鏢的概率為；
（Ⅲ）第四個鏢孔與前三個鏢孔的距離都超過1cm的概率為1-．
分析：（I）先用平均數的公式，計算出四個數的平均數為9，然后用方差計算公式可以算出投擲成績的方差；
（II）先根據組合數公式，找到所有的基本事件個數為6個，而滿足“兩個都是白色飛鏢”的基本事件只有一種情況，由此可得摸出的兩個都是白色飛鏢的概率；
（III）根據兩兩距離分別為3cm、4cm、5cm的鏢孔P、Q、R，得到三角形PQR是直角三角形，其面積為6，符合題意的基本事件為點落在直角三角形的三個頂點為圓心，且半徑為1的三個扇形之外的部分，最后用兩個面積相除即可得到所求的概率．
點評：本題借助于一個投擲飛鏢的問題，著重考查了等可能性事件的概率、幾何概率模型和方差的概念等知識點，屬于基礎題．