Question

如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中點．

(1)求證：DE＝DA；

(2)求證：平面BDM⊥平面ECA；

(3)求證：平面DEA⊥平面ECA.

Answer 1

(1)取EC的中點F，連結DF.

∵CE⊥平面ABC，

∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.

∵BD∥CE，∴BD∥平面ABC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.

(2)取AC的中點N，連結MN、BN，則MN綊CF.

∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.

又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.

(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，

∴DM⊥平面ECA.

又∵DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.